Gráfica de un Pato en MatLab, usando métodos numéricos

En el siguiente ejercicio se pretende graficar el perfil de un pato usando métodos numéricos, en especial el tema de Interpolación polinomial fragmentaria o por partes (picewise). Este método crea una función cúbica entre cada punto y posteriormente lo evalúa es por ello que es posible visualizar la curva. 

El ejercicio fue extraído del libro Análisis Numérico de Richard L. Burden y J. Douglas Faires, se desarrolló en Matlab y se grafico. Cabe resaltar que la siguiente metodología no se puede aplicar únicamente a figuras, sino, también a la vida real, como aproximaciones a curvas que no siguen una función específica, en hidráulica para el Diagrama de Moody, etc. 

La Figura 1 muestra a un joven pato en pleno vuelo. Para aproximar el perfil de la parte superior del pato, seleccionamos algunos puntos a los largo de la curva por donde queremos que pase la curva de aproximación. El Cuadro 1 incluye las coordenadas de 21 puntos de datos relativos al sistema de coordenadas sobrepuestas que aparecen en la Figura 2. Obsérvese que se utilizan más puntos cuando la curva cambia rápidamente que cuando lo hace con más lentitud. 

Figura 1.      Representación de un Pato

El sistema  de referencia relativo se realizo en el programa AutoCad, en la siguiente imagen se observan los puntos que se necesitaron para graficar el pato.

Figura 1.      El pato en un plano cartesiano

En los siguientes cuadros se muestran las coordenadas x, f(x) del pato (Figura 2), Estas coordenadas sirvieron para la programación del pato en Matlab.

Cuadro 1.   Coordenadas de la parte superior del pato

Núm.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
x	0.9	1.3	1.9	2.1	2.6	3	3.9	4.4	4.7	5	6	7	8	9.2	10.5	11.3	11.6	12	12.6	13	13.3
f(x)	1.3	1.5	1.85	2.1	2.6	2.7	2.4	2.15	2.05	2.1	2.25	2.3	2.25	1.95	1.4	0.9	0.7	0.6	0.5	0.4	0.25

Cuadro 2.   Coordenadas de la parte inferior A del pato

Núm.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
x	0.817	0.897	1.022	1.191	1.510	1.834	2.264	2.962	3.624	4.202	4.499	4.779	5.109	5.527
f(x)	1.180	1.065	1.023	1.010	1.032	1.085	1.192	1.115	1.087	1.100	0.830	0.608	0.350	0.106

Cuadro 3.   Coordenadas del ala superior del pato

Núm.	1	2	3	4	5	6	7
x	4.659	4.865	5.085	5.261	5.387	5.478	5.527
f(x)	-5.161	-4.741	-3.933	-2.951	-1.970	-0.981	0.106

Cuadro 4.   Coordenadas del ala inferior  del pato

Núm.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
x	4.659	4.750	4.990	5.289	5.560	5.839	6.113	6.606	6.916	7.305	7.563	7.802	7.983
f(x)	-5.161	-5.259	-5.284	-5.268	-5.161	-4.982	-4.769	-4.286	-3.911	-3.213	-2.670	-2.176	-1.655
Núm.	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
x	8.141	8.473	8.832	9.337	9.887	10.572	10.995	11.501	11.923	12.364	12.763	13.300
f(x)	-1.138	-0.434	-0.514	-0.494	-0.382	-0.005	-0.090	-0.085	-0.030	0.093	0.120	0.250

Cuadro 5.   Coordenadas del ojo superior  del pato

Núm.	1	2	3	4
x	2.663	2.700	2.805	2.886
f(x)	2.202	2.279	2.293	2.222

Cuadro 6.   Coordenadas del ojo inferior  del pato

Núm.	1	2	3	4
x	2.663	2.720	2.826	2.886
f(x)	2.202	2.130	2.143	2.222

Para obtener la gráfica del pato se realizó un algoritmo en Matlab, se realizó un código general y luego se procedió únicamente a introducir los puntos de las coordenadas que se muestran en los cuadros del 1 al 6.

El código general es:

%        código para dibujar un pato

clear               %limpiamos las variables

%        1.  INICIAMOS A PROGRAMAR LA PARTE SUPERIOR DEL PATO

n=21;             %Debe modificar este valor en base al número de datos (Núm. de datos -1)

%        Creamos dos matrices uno para x y otro para f(x), (Estos datos se modifican dependiendo de que parte del pato se quiere graficar)

x= [0.817 0.9 1.3 1.9 2.1 2.6 3.0 3.9 4.4 4.7 5.0 6.0 7.0 8.0 9.2 10.5 11.3 11.6 12.0 12.6 13.0 13.3];

a= [1.18 1.3 1.5 1.85 2.1 2.6 2.7 2.4 2.15 2.05 2.1 2.25 2.3 2.25 1.95 1.4 0.9 0.7 0.6 0.5 0.4 0.25];

%        A partir de aquí no es necesario modificar

%        Creamos la matriz y calculamos h (i)

h=zeros(1,n);

for i=1:n

    h(1,i)=x(1,i+1)-x(1,i);

end

%        cálculo de Alpha

alpha=zeros(1,n);

for i=2:n

    alpha(1,i)=(h(1,i).\3).*(a(1,i+1)-a(1,i))-(h(1,i-1).\3).*(a(1,i)-a(1,i-1));

end

%Creamos las matrices l, mu y z

l=zeros(1,n+1);

l(1,1)=1;

l(1,21)=1;

mu=zeros(1,n);

z=zeros(1,n+1);

z(1,21)=0;

for i=2:n

    l(1,i)=2*(x(1,i+1)-x(1,i-1))-h(1,i-1).*mu(1,i-1);

    mu(1,i)=l(1,i).\h(1,i);

    z(1,i)= l(1,i).\(alpha(1,i)- (h(1,i-1).*z(1,i-1)));

end

%Creamos la matriz c, b y d

c=zeros(1,n+1);

b=zeros(1,n);

d=zeros(1,n);

for i=n:-1:1

    c(1,i)=z(1,i)-(mu(1,i).*c(1,i+1));

    b(1,i)=h(1,i).\(a(1,i+1)-a(1,i))-(h(1,i).*(c(1,i+1)+2*c(1,i)))/3;

    d(1,i)=(3*h(1,i)).\(c(1,i+1)-c(1,i));

end

% Creamos la variable de las funciones

for i=1:n

    xi=x(1,i):0.01:x(1,i+1);

    curva=a(1,i)+b(1,i).*(xi-x(1,i))+c(1,i).*(xi-x(1,i)).^2+d(1,i).*(xi-x(1,i)).^3;

    hold on

    plot(xi, curva, 'LineWidth', 1.5)

end

grid

%en este punto se definió los Label de los ejes y el titulo

xlabel('x ','FontSize',14 )

ylabel('f(x) ','FontSize',14 )

title('Gráfica Pato','FontSize',16) .

Ingresando las coordenadas que se muestran en los cuadros anteriores, y utilizando el algoritmo en MatLab es posible obtener la gráfica del pato, usando métodos numéricos. 

Figura 1.      Gráfica de pato en Matlab

Este método ayuda cuando no conocemos información de la funcion que describe una curva y únicamente se tiene la curva. 

En hidráulica sirve básicamente para:

-Determinar Coeficiente de Rugosidad del Diagrama de Moody.

-Coeficiente de descarga en vertederos.

-etc. 

Bibliografía

• Análisis Numérico. Richard L. Burden y J. Douglas Faires. Grupo Editorial Iberoamericana S.A. de C.V.
• Apuntes de clases de la Materia Métodos Numéricos. Posgrado IMTA.